او از 7 سالگی تمرینات خود را زیر نظر پدرش آغاز کرد و خیلی زود متدهای دروازه‌بانی را آموخت. احمدرضا عابدزاده درباره علاقه امیر به دروازه‌بانی می‌گوید: «امیر از همان روزی که توانست راه برود شروع کرد به بازی با توپ. بهترین و جذاب‌ترین تفریح برایش بازی با توپ بود و بعد از مدتی به دروازه‌بانی علاقه پیدا کرد. خدا را شکر که در این زمینه پیشرفت کرد و توانست برای خودش نامی دست و پا کند. البته او در کنار دروازه‌بانی درس را هم ادامه داد و من از این مسأله بسیار خوشحالم.»
عابدزاده کوچک حضور در رده‌های پایه انگلیس و تیم‌هایی نظیر برنتفورد و تاتنهام را تجربه کرد و سپس بعد از مدتی بازی برای لس آنجلس در امریکا به ایران برگشت. او سال 1390 و وقتی که تنها 18 سال داشت به پرسپولیس پیوست و در فصل اول حضورش در این تیم، یعنی زمان سرمربیگری مانوئل ژوزه و یحیی گل‌محمدی فرصت بازی پیدا نکرد. او در فصل دوم هم چند هفته ابتدایی را با تیم بزرگسالان تمرین کرد اما با نظر علی دایی سرمربی وقت تیم و موافقت خودش به تیم امید پرسپولیس ملحق شد. او در بازی با زیر ۲۱ سال با نیروی زمینی یک گل برای پرسپولیس به ثمر رساند. راه‌آهن تیم بعدی عابدزاده بود که او توانست 9 بار همراه این تیم در لیگ برتر بازی کند و همزمان به عضویت تیم امید ایران در‌بیاید. کوچ به اروپا تصمیم بعدی امیر بود. عابدزاده به پرتغال رفت و بعد از یک فصل بازی برای باریرنسه (دسته یک پرتغال) به ماریتیمو پیوست تا در لیگ برتر پرتغال بازی کند. عملکرد خوب امیر در ماریتیمو باعث شد کارلوس کی‌روش او را به تیم ملی دعوت کند. او در جام جهانی ۲۰۱۸ روسیه و همچنین 2022 قطر یکی از نفرات تیم ملی بود. همچنین امیر در فصل ۲۱–۲۰۲۰ بهترین دروازه‌بان فصل لیگ حرفه‌ای پرتغال شد. او خاطره‌ای جالب از دوران حضورش در ماریتیمو نقل می‌کند: «قشنگ یادم است بعد از یک سال مربی گلرهای ماریتیمو از من پرسید این تکنیک را چه کسی یادت داده که به او گفتم پدرم این کار را انجام داده. او پرسید که مگر پدرت دروازه‌بان بوده که من توضیح دادم احمدرضا عابدزاده چه کسی است.»
پونفرادینا مقصد بعدی امیر بود و حالا او دومین فصل حضور در این تیم اسپانیایی را پشت سر می‌گذارد. بچه‌عقاب امروز 30 ساله شده و در روز تولدش امیدوار است بتواند راهی لالیگا شود و به آرزوی فوتبالی خود برسد. رایو وایکانو که در حال حاضر در رده نهم لالیگا قرار دارد، پیشنهادی را برای جذب عابدزاده ارائه کرده. رئال ساراگوسا و لگانس هم تیم‌های حاضر در لیگ دسته دوم اسپانیا هستند که پیشنهادهایی را به عابدزاده داده‌اند. در انگلیس هم وست بروموویچ که در رده نهم رقابت‌های چمپیونشیپ حضور دارد علاقه‌مند است عابدزاده را جذب کند. امیر اما به‌دنبال یک پروژه جالب و همچنین بازی کردن برای دقایق بیشتری است اما هنوز مقصد او مشخص نیست.
